Matemàtiques 0.1 fins l'infinit

Matemàtiques per a l'ensenyament secundari

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Hablando de cuadriláteros

Título: Hablando de cuadriláteros.

Autor: Juan Manuel Couchoud Pérez.

Dirección electrónica: juan.manuel.couchoud@gmail.com @JuanmaCouchoud

Institución: Profesor de matemáticas del IES Vall de la Safor de Villalonga. Miembro de la Sociedad de Educación Matemática de la Comunidad Valenciana al-Khwārizmī y Vocal del Instituto GeoGebra Valenciano.

Nivel educativo: Optativa instrumental de matemáticas de primero de ESO.

Modalidad: Experiencia de aula presentada en el “Segundo Seminario: Enseñar matemáticas con GeoGebra: retos, roles, resultados”. Castro Urdiales 18-20 de novembre de 2016.

Resumen: Esta experiencia de aula se desarrolla alrededor de un programa de cuadriláteros realizado con GeoGebra, el propio título utiliza la palabra “Hablando” para reflejar que las actividades son especialmente orales, de trabajo en equipo. Está dirigida a alumnos con una competencia matemática muy baja, en un grupo pequeño. El color y el grosor de lados y diagonales son el hilo conductor para descubrir las propiedades de los diferentes cuadriláteros. La igualdad de colores significa igualdad de longitudes, igualdad de ángulos, el grosor de las líneas está relacionado con el paralelismo de los lados y la perpendicularidad de las diagonales. La actividad finaliza analizando las clases de cuadriláteros que podemos observar en la comarca gracias a los mapas de Internet.

Palabras clave: cuadriláteros, GeoGebra, geometría, teorema de Pick, experiencia de aula.

 

¿Dónde estamos?

El IES “Vall de la Safor” està en Villalonga en la ribera de rio Serpis, muy cerca de La Safor, montaña que da nombre a la comarca.

Su área de influencia recoge los pueblos de Beniarjó, Beniflà, Potries, Villalonga, Ador, Palma de Gandia, Rótova, Alfauir, Llocnou de Sant Jeroni, Almiserat y Castellonet de la Conquesta, que conforman un total de siete escuelas de carácter rural, la parte interior de la comarca.

La economía se centra en el cultivo de cítricos, en la pastelería industrial y una parte importante depende del turismo de la costa.

Imagen 1. La Safor

 

¿Cuántas matemáticas sabemos?

Las evaluaciones iniciales de todos los alumnos de primero de ESO muestran niveles competenciales buenos en aritmética, medios en resolución de problemas y bajos en geometría. Las chicas muestran un nivel competencial superior a los chicos.

2015/2016 Aritmética Geometría Resolución de problemas Global
Primero de ESO 7,0 5,2 4,1 6,3 4,8 5,1 5,4
Chicas 7,2 5,4 4,4 6,5 5,3 5,2 5,7
Chicos 6,8 4,9 3,7 6,1 4,3 4,9 5,1

 

¿Quiénes somos?

Esta experiencia de aula se centra en la optativa instrumental de matemáticas con diez alumnos, cinco chicas y cinco chicos con competencias matemáticas muy bajas, especialmente las geométricas, con especial dificultad por parte de los chicos para llevar una libreta de forma ordenada, algunos chicos trabajan con folios sueltos que suelen perder semanalmente. La problemática es variada, una alumna absentista, un alumno absentista intermitente, un alumno con TDAH y dos con problemas importantes de relaciones sociales.

 

¿Qué hemos hecho con los cuadriláteros?

Las dificultades de trabajar con estos alumnos son apreciables, las matemáticas no les representa un aspecto interesante en su formación, solo muestra sus incompetencias respecto del resto de compañeros, evitan el cálculo de operaciones y la resolución de problemas, los chicos recurren a la payasada y la burla como estrategia para estar en la clase de referencia. Este comportamiento mejora en este grupo reducido gracias al estudio de la geometría con GeoGebra.

Desde el principio GeoGebra está presente en el aula con construcciones para practicar las operaciones aritméticas básicas, la construcción de figuras y elementos geométricos que los alumnos realizan siguiendo guiones escritos que les enseñan la utilización de las diferentes herramientas de GeoGebra. Los guiones son explicados al mismo tiempo que el profesor realiza la construcción geométrica y después los alumnos realizan la construcción siguiendo sus propios apuntes.

Con los cuadriláteros la situación se invierte, ahora la finalidad es investigar a partir de una construcción que ya está hecha. Los alumnos uno a uno utilizan el ordenador con el GeoGebra proyectado en la pantalla, los demás opinan y orientan a éste en la búsqueda de los diferentes cuadriláteros y también de sus propiedades. Las anotaciones de los descubrimientos se escriben en la pizarra para copiarlas después en la libreta.
El cálculo de áreas con el teorema de Pick requiere papel con cuadrículas grandes, las pequeñas de las libretas dificultan mucho los dibujos de los cuadriláteros, sobre todo situar los puntos interiores y del borde. Resulta fácil utilizar el teorema de Pick contando puntos en GeoGebra, pero difícil en el papel a partir de sus dibujos.

 

Características del programa

El programa (Couchoud 2016a) presenta un cuadrilátero de colores, el nombre, el área, si es cóncavo o convexo, tres botones para facilitar la ampliación, la reducción y el centrado de la figura. También presenta casillas de control que ocultan y visualizan los diferentes elementos del programa. También visualiza los puntos del teorema de Pick y la fórmula. Tiene una manipulación muy intuitiva, necesitando muy pocas instrucciones. El alumno solamente tiene que desplazar los cuatro vértices y activar o desactivar las diferentes opciones. El trabajo en equipo resulta muy eficaz, entre ellos se dan propuesta, recomendaciones y ayudas.

 

Imagen 2

 

El cuadrilátero tiene diferentes colores y grosores y si no es simple se representa en color negro.

 

Imagen 3

 

Los colores son los responsables y verdaderos protagonistas de facilitar el estudio de las propiedades de los cuadriláteros.

1. Los lados del mismo color tienen la misma longitud.
2. Los lados más gruesos son paralelos al lado opuesto. Es una novedad que no está en la versión original (Couchoud 2016b).
3. Las diagonales del mismo color tienen la misma longitud.
4. Las diagonales más gordas son perpendiculares.
5. Los ángulos del mismo color son iguales.
6. Los ángulos rectángulos se marcan con un cuadrado pequeño y los demás con un sector circular.

 

Actividades

¿Cuántas clases de cuadriláteros existen?

En esta actividad solo se activa la casilla de control del nombre. Los alumnos van creando los diferentes cuadriláteros y los dibujan en la libreta con sus nombres. En total el programa ofrece 9 nombres, que son buscados por los alumnos.

Imagen 4

Como curiosidad: una alumna consiguió encontrar casi todas las figuras que no forman cuadriláteros simples y darles nombres. A la pregunta ¿Cuántas figuras negras hay? Solo piensan en las que encierran un área.

 

Imagen 5, pajarita, bandera y triángulo

 

¿Qué propiedades tienen los cuadriláteros?

En esta actividad se activa la casilla de control del nombre, la de los ángulos y la de las diagonales.

Imagen 6

A pesar de que los alumnos ya recuerdan las diferentes clases de cuadriláteros necesitan una estrategia para analizar las propiedades de los cuadriláteros. Se utiliza la pizarra para crear una tabla con las propiedades que facilite después copiarlas en la libreta. Esta actividad requiere una orientación importante por parte del profesor.

El profesor ha de recomendar modificar algunas representaciones que permitirían asociar propiedades incorrectas a algún tipo de cuadriláteros. Por ejemplo un trapecio rectángulo con lados iguales o un deltoide con diagonales iguales.

 

Imagen 7

 

El profesor ha de explicar los criterios de colores y el significado del grosor de los lados y diagonales y las propiedades que han de observar.

Contar la cantidad de lados iguales.

Mirar si hay parejas de lados iguales y si están alternados o contiguos.

Han de contar la cantidad de parejas de lados paralelos.

Contar la cantidad de ángulos iguales, si forman parejas y si éstas están alternadas o contiguas.

Observar si las diagonales son iguales y si son perpendiculares.

 

¿Quién es?

Esta actividad tiene todas las casillas de control desactivadas, solamente se utiliza el nombre para verificar el resultado. Es el profesor quien presenta propuestas y los alumnos discuten el nombre de la figura.

 

Imagen 8, ¿rombo o cuadrado?

 

Los alumnos todavía tienen una inercia en asociar nombres incorrectos en función de la orientación de cuadrilátero, suelen confundir cuadrados con rombos y rectángulos con romboides.

 

¿Cuánto mide el área de un cuadrilátero?

Esta actividad necesita activar el cuadro de control del Teorema de Pick y el cuadro de control del área se activa para verificar el resultado.

Imagen 9

Con esta actividad los alumnos cuentan puntos de la cuadrícula, substituyen valores en la fórmula y calculan expresiones simples, la división no representa una dificultad especial.

La dificultad aparece al desactivar la casilla de control del teorema de Pick y pedir que calculen el área contando los puntos interiores y del borde sin estar marcados.

 

¿Qué tipo de cuadriláteros abundan en la comarca?

Esta actividad necesita Google Earth o Maps o SigPac. Consiste en analizar los términos municipales para buscar los diferentes tipos de cuadriláteros con la finalidad de determinar su abundancia.

Imagen 10, Beniarjó

 

Imagen 11, Beniflà

 

Imagen 12, Potríes.

 

Imagen 13, Villalonga.

 

Las conclusiones a las que llegaron los alumnos fueron:

Los rectángulos, romboides, trapecios y trapezoides abundan mucho, determinando las formas principales de edificios y huertos.

Hay muy pocos cuadrados.

No encontraron rombos ni deltoides.

Esta actividad no solamente ha contribuido a mejorar un poco las competencias matemáticas, gracias al trabajo oral y en equipo también ha sido positiva en otras competencias como la comunicación lingüística, la digital, aprender a aprender y en las sociales y cívicas.

 

Valoración de las competencias

 

En esta actividad de la optativa instrumental de matemáticas se han evaluado todas las competencias.

1.- La comunicación lingüística. La evaluación es positiva, se ha centrado fundamentalmente en la comunicación oral, se nota cierta mejora en la participación en un entorno reducido, suelen aceptar de buen grado las rectificaciones y sugerencias del profesor, no tanto las de los compañeros. La asociación de colores a las características de los cuadriláteros ha facilitado mucho la búsqueda de sus propiedades. Resultando más difícil determinar qué conjunto de propiedades identifican un cuadrilátero concreto.

2.- Competencia matemática. La evaluación es baja, en el control individual la mayoría no están preocupados por la verificación de las contestaciones, confunden algunas figuras y propiedades de los cuadriláteros, por contestar de forma impulsiva y poco razonada, especialmente los chicos suelen rechazar las actividades escritas.

3.- Competencia digital. La evaluación es positiva, el uso del ordenador y la manipulación de GeoGebra han mejorado esta competencia. No están acostumbrados al uso de los ordenadores de sobremesa, solamente son usuarios de la tecnología de telefonía móvil y muy centrados en aplicaciones de redes sociales, musicales y fotográficas.

4.- Aprender a aprender. La evaluación es positiva en las chicas, al resto de los alumnos no les preocupa. Trabajar en una asignatura donde la exigencia de conocimientos es menor que en el aula ordinaria les permite convencerse de que son capaces de aprobar la asignatura y que vale la pena esforzarse para conseguir una buena nota.

5.- Competencias sociales y cívicas. La evaluación es positiva, especialmente en algunos chicos. Sobre todo en las correcciones que se realizan entre ellos. Algunos chicos suelen dedicar adjetivos negativos o risas burlonas a los compañeros que cometen errores. Esta forma inadecuada de participar se ha reducido a lo largo del curso, mediante anotaciones, positivos y negativos, en la libreta del profesor.

6.- Sentido de la iniciativa y espíritu emprendedor. La evaluación es negativa, solo una chica tiene una evaluación muy positiva, tiene curiosidad, participa activamente y propone novedades a las actividades, como clasificar los cuadriláteros que no son simples.

7.- Consciencia y expresiones culturales. Es muy positiva, observar la comarca en un mapa, buscando cuadriláteros en los huertos, les ha permitido contemplar la comarca de forma diferente, con ojos matemáticos.

 

Los criterios de evaluación

De los criterios de evaluación que se han utilizado en esta actividad (MECD 2015), los de más peso son los del primer bloque y en menor grado los aritméticos y geométricos.

 

Del bloque 1, procesos, métodos y actitudes en matemáticas.

1. Expresar verbalmente, de forma razonada el proceso seguido en la resolución de un problema.

8. Desarrollar y cultivar las actitudes personales inherentes al quehacer matemático.

9. Superar bloqueos e inseguridades ante la resolución de situaciones desconocidas.

10. Reflexionar sobre las decisiones tomadas, aprendiendo de ello para situaciones similares futuras.

11. Emplear las herramientas tecnológicas adecuadas, de forma autónoma, realizando cálculos numéricos, algebraicos o estadísticos, haciendo representaciones gráficas, recreando situaciones matemáticas mediante simulaciones o analizando con sentido crítico situaciones diversas que ayuden a la comprensión de conceptos matemáticos o a la resolución de problemas.

Del boque 2, números y álgebra

4. Elegir la forma de cálculo apropiada (mental, escrita o con calculadora), usando diferentes estrategias que permitan simplificar las operaciones con números enteros, fracciones, decimales y porcentajes y estimando la coherencia y precisión de los resultados obtenidos.

Del bloque 3, geometría

1. Reconocer y describir figuras planas, sus elementos y propiedades características para clasificarlas, identificar situaciones, describir el contexto físico, y abordar problemas de la vida cotidiana.

1.1. Reconoce y describe las propiedades características de los polígonos regulares: ángulos interiores, ángulos centrales, diagonales, apotema, simetrías, etc.

1.3. Clasifica los cuadriláteros y paralelogramos atendiendo al paralelismo entre sus lados opuestos y conociendo sus propiedades referentes a ángulos, lados y diagonales.

2. Utilizar estrategias, herramientas tecnológicas y técnicas simples de la geometría analítica plana para la resolución de problemas de perímetros, áreas y ángulos de figuras planas, utilizando el lenguaje matemático adecuado para expresar el procedimiento seguido en la resolución.

 

Conclusiones

En un entorno con muy poca tecnología, con una red inalámbrica Wifi de muy poco alcance, internet de muy baja velocidad, dotación nula de ordenadores en las aulas, aulas de informática que están copadas por las asignaturas de informática y tecnología, que solamente están disponibles para el resto de las asignaturas unas pocas horas, en función de la casualidad horaria, conseguir experiencias de educación constructivista resulta especialmente difícil.
Esta experiencia la situaría en un entorno de aprendizaje por descubrimiento guiado (García 2011). Verifica que los alumnos con competencias muy bajas en matemáticas pueden trabajar en entornos tecnificados y con pocos alumnos.

Referencias:

Couchoud, J. M. (2016a). Representación de cuadriláteros y el teorema de Pick. Recuperado de https://www.geogebra.org/m/ePERXRxy

 

Couchoud, J. M. (2016b). Quadrilàters i el teorema de Pick. Recuperado de https://www.geogebra.org/m/pdW4wQCj

 

García, M. M. (2011). Evolución de actitudes y competencias matemáticas en estudiantes de secundaria al introducir GeoGebra en el aula. Departamento de Didáctica de la Matemática y de las ciencias experimentales. Facultad de Ciencias de la Educación. Universidad de Almería. Recuperado de http://funes.uniandes.edu.co/1768/2/Garcia2011Evolucion.pdf

 

MECD (2015). Real Decreto 1105/2014, de 26 de diciembre, por el que se establece el currículo básico de la Educación Secundaria Obligatoria y del Bachillerato. BOE núm. 3, sec I, pág. 169. Recuperado de https://www.boe.es/boe/dias/2015/01/03/pdfs/BOE-A-2015-37.pdf

 

Imágenes:

2, 3, 4, 5, 6, 7, 8 y 9. Realizadas con GeoGebra por Juan Manuel Couchoud.

1, 10, 11, 12 y 13. Realizadas con los mapas de Google Earth por Juan Manuel Couchoud.





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