Matemàtiques 0.1 fins l'infinit

Creació de ferramentes i comandaments amb GeoGebra

GeoGebra no aporta cap eina ni comandament per a dibuixar corbes de Bézier, però permet crear-les. Ara construireu comandaments pas a pas, i d’aquesta manera podreu implementar aquestes corbes tan interesants. Es tracta de funcions paramètriques de tipus polinòmic, relacionades amb una llista de punts. Quan el paràmetre té valor zero el resultat és el primer punt de la llista i quan el paràmetre és la unitat el resultat és l’últim punt. L’expressió general per a una llista de punts $P = \left\{ {P_0 ,\,\,P_1 ,\,\,\, \cdots \,\,\,P_n } \right\}$ és $B\left( t \right) = \sum\limits_{i = 0}^n {\left( {\begin{array}{*{20}c} n \\ k \\ \end{array}} \right)t^k \left( {1 - t} \right)^{n - k} P_k }$ en l’interval $0 \le t \le 1$ . Una propietat que les fa molt útils és la tangència de la corba als segments formats pels dos primers punts i els dos últims.

Creareu la ferramenta Bézier3(punt,punt,punt) que dibuixa una corba quadràtica amb tres punts i Bézier4(punt,punt,punt,punt) que dibuixa una corba cúbica amb quatre punts.

Obriu una sessió de GeoGebra i dibuixeu quatre punts A=(1,1) , B=(2,2) , C=(3,5) i D=(4,1)
A continuació la corba quadràtica
a = Corba((1 – t)^2 x(A) + 2 t (1 – t) x(B) + t^2 x(C), (1 – t)^2 y(A) + 2 t (1 – t) y(B) + t^2 y(C), t, 0, 1)
Seguidament la corba cúbica
b = Corba((1 – t)^3 x(A) + 3 t (1 – t)^2 x(B) + 3 t^2 (1 – t) x(C) + t^3 x(D), (1 – t)^3 y(A) + 3 t (1 – t)^2 y(B) + 3 t^2 (1 – t) y(C) + t^3 y(D), t, 0, 1)

Aprofitant qualsevol programa de dibuix podeu crear un parell d’icones per a representar les ferramentes, Bézier3.png i Bézier4.png .

Per a crear les ferramentes seleccioneu el menú “Eines” i l’opció “Crea una eina nova …” amb les dades següents:

Objectes de sortida: Corba a
Objectes d’entrada: Punt A(1,1) Punt B(2,2) Punt C(3,5)
Nom de l’eina: Bézier3
Nom del comandament: Bézier3
Ajuda de l’eina: Bézier3(punt, punt, punt)

Seleccioneu la icona creada i a continuació cliqueu el botó “D’acord” i després el botó “OK”.

Repetiu el procés per a la segona ferramenta, seleccioneu el menú “Eines” i l’opció “Crea una eina nova …” amb les dades següents:

Objectes de sortida: Corba b
Objectes d’entrada: Punt A(1,1) Punt B(2,2) Punt C(3,5) Punt D(4,1)
Nom de l’eina: Bézier4
Nom del comandament: Bézier4
Ajuda de l’eina: Bézier4(punt, punt, punt, punt)

Seleccioneu la icona creada i a continuació cliqueu el botó “D’acord” i després el botó “OK”.

Guardeu el document de les dos maneres següents: Primer, des del menú “Fitxer” i l’opció “Anomena i desa…” amb el nom Bézier.ggb i el tipus “GeoGebra Fitxers (.ggb)”. Després, des del menú “Eines” i l’opció “Administra les eines…”, seleccionant les dos ferramentes i clicant el botó “Anomena i desa…” amb el nom Bézier.ggt i el tipus “GeoGebra Eines (.ggt)”. El primer arxiu permet realitzar modificacions futures i el segon permet incorporar les noves eines a qualsevol document de GeoGebra des del menú “Fitxer” i l’opció “Obre …”. Seleccioneu el document Bézier.ggt i cliqueu el botó “Obre”. Aquests comandaments no apareixen en la barra de ferramentes, però des del menú “Eines” i l’opció “Personalitza la barra d’eines …” podreu situar-les en qualsevol lloc.