Matemàtiques 0.1 fins l'infinit

Matemàtiques per a l'ensenyament secundari

El canvas del títol no funciona
Matemàtiques 0.1 fins l'infinit. Matemàtiques per a l'ensenyament secundari

Maxima amb wxMaxima. Aritmètica (segona part)

Índex

Introducció

Per viatjar per les funcions de Maxima he decidit seguir com a fil conductor els nombres: Començarem pels nombres naturals \mathbb{N}, continuarem amb els enters \mathbb{Z}, seguirem amb els racionals \mathbb{Q} a cavall entre l’aritmètica exacta de les fraccions i les aproximacions dels nombres decimals, també dedicarem un parell de capítols als nombres reals \mathbb{R} i als nombres complexos \mathbb{C}. Per finalitzar i ampliar el món de l’aritmètica entrarem en les estructures més grans com els vectors i les matrius.

Els nombres naturals

Els nombres naturals \mathbb{N}=\left\lbrace 1, \, 2, \, 3 \ldots\right\rbrace s’han definit de varies maneres. Una definició que m’agrada molt són els axiomes de Peano (Fernández 1991).

Un sistema de nombres naturals està format per un conjunt \mathbb{N} i una aplicació que anomenem “següent” s:\mathbb{N}\rightarrow\mathbb{N} que verifiquen les tres propietats següents:

1. L’aplicació s és injectiva.

2. Existeix un únic element 1\in\mathbb{N} tal que s(n)\neq 1 \, \forall n \in \mathbb{N}.

3. Si U\subset\mathbb{N} verifica que si 1 \in U \wedge n \in U \rightarrow s(n) \in U llavors U=\mathbb{N}.

Amb els nombres naturals es defineixen per recurrència la suma  ( \mathbb{N},+ ), la multiplicació  ( \mathbb{N},* ) i la potència  ( \mathbb{N}, \hat{ } ):

La suma de dos nombres naturals m+n és defineix com: m+1=s(m) \, \wedge \, m+s(n) = s(m+n).

El producte, * en Maxima, de dos nombres naturals m*n és defineix com: m*1=m \, \wedge \, m*s(n) = m*n+m.

La potència, \,\hat{ }\, en Maxima, de dos nombres naturals m \,\hat{ }\, n  és defineix com: m \,\hat{ }\, 1=m \, \wedge \, m \,\hat{ }\, s(n) = m \,\hat{ }\, n*m.

 

Amb wmMaxima podeu realitzar càlculs amb els nombres naturals i amb lletres que representen nombres naturals. Aprofiteu i practiqueu amb els exemples de forma simultània que realitzeu la lectura.

Activitat
· Obriu una sesió de wxMaxima.
· Amb wxMaxima podeu fer sumes senzilles i complicades que superen la capacitat de càlcul de moltes calculadores.

· Ara si que és possible verificar les multiplicacions gegants que fan els calculistes, i fer càlculs que les calculadores solament realitzen de forma aproximada. Els nombres extraordinàriament grans són presentats amb les xifres inicials i finals, heu de modificar el format de presentació per observar totes les xifres i també que la barra invertida indica que l’expressió continua en la línia següent.

· Amb wxMaxima podem verificar les propietats de les potències molt fàcilment.

· Totes les operacions es poden combinar respectant-se les distintes prioritats. La factorització amb factors primers és molt senzilla.

· Un gran avantatge de wxMaxima és la possibilitat de crear llistes que permeten analitzar relacions numèriques.
També és possible agrupar varies llistes creant unes taules que s’anomenen matrius.

· Podeu verificar si un nombre és primer i calcular el següent nombre primer.

· Els ordinadors tarden molt en fer factoritzacions de nombres. Podeu generar dos nombres primers grans, multiplicar-los i verificar quant tarda el programari en factoritzar-los. En el exemple observareu que un nombre de 38 xifres tarda en ser factoritzat 31 segons, depèn molt de les característiques de l’ordinador, quantitat de nuclis i la velocitat del processador, la quantitat de memòria de treball disponible. La dificultat que tenen els ordinadors en factoritzar els nombres formats per dos nombres primers molt grans és la causa que permet utilitzar-los en la seguretat informàtica.

· Els nombres naturals són importants per les seues propietats cardinals i ordinals. Amb els nombres naturals es defineixen quatre relacions d’ordre: “major que” (\mathbb{N},>) i “menor que” (\mathbb{N},<) que són relacions d’ordre estricte per complir-se les propietats antireflexiva, antisimètrica i transitiva, “major o igual que” (\mathbb{N},>=) i “menor o igual que” (\mathbb{N},<=) que són relacions d’ordre total per complir-se les propietats reflexiva, antisimètrica, transitiva. Observeu que he substituït els símbols \geq\leq per >=<= utilitzats en Maxima.
· La propietat de la tricotomia afirma que donats dos nombres naturals m i n, solament es pot donar una de les tres relacions següents: m<n, m=n o m>n. Amb la funció is podeu verificar la certesa o falsedat d’una relació.

· Les relacions >, <\geq\leq són compatibles amb la suma i el producte de nombres naturals. Vol dir el següent, si dos nombre estan relacionats, al sumar-los o multiplicar-los per qualsevol nombre natural, la relació es conserva.
\forall \, a, \, b, \, c \in \mathbb{N}
a<b\rightarrow a+c<b+c i a<b \rightarrow ac<bc
a>b\rightarrow a+c>b+c i a>b \rightarrow ac>bc
a\geq b\rightarrow a+c \geq b+c i a\geq b \rightarrow ac\geq bc
a\leq b\rightarrow a+c \leq b+c i a\leq b \rightarrow ac\leq bc

· Existeix un joc que solament utilitza nombres naturals. “Endevina quin nombre he pensat” i està basat en la tricotomia dels nombres naturals.

· “endevina” és una funció amb un paràmetre m d’entrada per indicar el màxim nombre que la màquina pot utilitzar, observeu l’assignació := que representa la declaració de funcions. Està formada per la sentència block que permet definir una llista de variables i una llista de sentències. En Maxima la separació de sentències dins d’una funció és la coma “,“. És important conèixer que Maxima no admet la sentència buida i per tant dues comes seguides o una coma al final d’un bloc representen errors de programació.
Les variables formen una llista tancada entre claudàtors, i a continuació observareu un comentari tancat entre els símbols “/*” i “*/“. És molt important realitzar comentaris en programació indicant els aspectes fonamentals que hem de recordar per a futures millores del programari.
Les dues línies següents representen la inicialització de les variables, n és el nombre que cal endevinar i c el comptador d’intents.
A continuació està la sentència do de repetició, i com no té condicions inicials s’ha d’executar una sentència return per poder finalitzar la sentència.
Després d’incrementar el comptador en una unitat, la funció demana a l’usuari un nombre que serà emmagatzemat en la variable r.
Ara és el moment d’aplicar la propietat de la tricotomia dels nombres naturals i realitzar les tres comparacions. La comparació amb el signe igual és el final del joc i executarà la sentència return. Les sentències condicionals tenen les estructures següents “if condició then sentència“, sentència que serà executada solament si la condició és certa i “if condició then sentència else sentència” que permet executar la primera sentència si la condició és certa i l’altra si és falsa.
Una vegada l’usuari endevina el nombre solament s’ha de comparar si s’ha fet un intent per indicar a l’usuari que ha tingut molta sort.

Els nombres enters

Els nombres enters és defineixen amb un conjunt quocient d’una relació \mathfrak{R} del producte cartesià dels nombres naturals \mathbb{N} \times \mathbb{N}, \, \mathbb{Z}=\mathbb{N} \times \mathbb{N}/\mathfrak{R}

No solem utilitzar les parelles de nombres naturals i tampoc aquesta relació d’equivalència dels nombres naturals (a,b)\mathfrak{R} (c,d)\rightarrow a+d=b+c. Normalment simbolitzem els nombres enters entre parèntesis amb signe o simplement amb un signe per als nombres negatius.

{(1 \, , \, 3), \, (2 \, , \, 4), \, (3 \, , \, 5) \ldots}=(-2)=-2

{(1 \, , \, 2), \, (2 \, , \, 3), \, (3 \, , \, 4) \ldots}=(-1)=-1

{(1 \, , \, 1), \, (2 \, , \, 2), \, (3 \, , \, 3) \ldots}=(0)=0

{(2 \, , \, 1), \, (3 \, , \, 2), \, (4 \, , \, 3) \ldots}=(+1)=1

Les formes més quotidianes de representar els nombres enters són \mathbb{Z}=\left\lbrace \ldots (-3), \, (-2), \, (-1), \, (0), \, (+1), \, (+2), \, (+3) \ldots \right\rbrace i \mathbb{Z}=\left\lbrace \ldots -3, \, -2, \, -1, \, 0, \, 1, \, 2, \, 3 \ldots \right\rbrace.

Hi ha tres subconjunts molt especials: els enters negatius \mathbb{Z}^-=\left\lbrace \ldots -3, \, -2, \, -1 \right\rbrace, els enters positius \mathbb{Z}^+=\left\lbrace 1, \, 2, \, 3 \ldots \right\rbrace i els enters no nuls \mathbb{Z}^*=\left\lbrace \ldots -3, \, -2, \, -1, \, 1, \, 2, \, 3 \ldots \right\rbrace

La suma de nombres enters (\mathbb{Z},+) disposa de més propietats que la suma de nombres naturals, tenim l’element neutre, els elements oposats i entra en joc la resta, definida com la suma de l’oposat.

Les següents expressions tenen formes simplificades.

(+5)+(+3)=(+8), 5+3=8

(+5)+(-3)=(+2), 5-3=2

(-5)+(+3)=(-2), -5+3=-2

(-5)+(-3)=(-8), -5-3=-8

El producte d’enters (\mathbb{Z},*) també té les seues formes simplificades.

(+5)*(+3)=(+15), 5*3=15

(+5)*(-3)=(-15), 5*(-3)=-15

(-5)*(+3)=(-15), -5*3=-15

(-5)*(-3)=(+15), -5*(-3)=15

La potència en els nombres enters queda limitada a un exponent enter positiu, i també podeu observar una sèrie de simplificacions en funció de la paritat de l’exponent.

(+5)^{(+3)}=(+125), 5^3=125

(-5)^{(+3)}=(-125), (-5)^3=-125

(+5)^{(+4)}=(+625), 5^4=625

(-5)^{(+4)}=(+625), (-5)^4=625

En el cas de no tenir instal·lada la declaració de caràcters alfabètics haureu d’executar la sentencia següent com a primera instrucció de l’activitat.

Activitat

· Amb wxMaxima podeu introduir la notació dels enters amb parèntesis, però les respostes sempre seran en la forma simplificada.

· Amb wxMaxima trobareu un bon grapat de funcions aplicables als nombres enters, però, és possible que trobeu d’altres a faltar, no vos preocupeu, les que no estan les podeu construir.
· Hi ha tres funcions que informen si una expressió matemàtica és entera, parell o senar. També és possible definir paraules sinònimes per a les funcions i adaptar-les al nostre alumnat.

· Maxima té una funció que troba els divisors d’un nombre enter, però solament els positiu, amb unes simples definicions podeu calcular tots els divisors enters o naturals.
Podeu disposar de la funció divisors_naturals definint un sinònim i la funció divisors_enters transformant el conjunt de divisors en una llista que serà canviada de signe i transformada altra vegada en conjunt, finalment calcula la unió entre els divisors negatius i positius. També existeix una funció que suma dels divisors positius d’un nombre.

· El valor absolut d’un nombre \left| n \right| està representat en Maxima per la funció abs(n) i el signe d’una expressió per la funció sign(n) que torna els valors neg, zero i pos per als valors negatius, nuls i positius respectivament, però també es possible crear una funció que torne -1 , 0 i 1.

· A més de la funció factor(n) podeu utilitzar la funció ifactors(n) que proporciona la factorització d’enters majors que 1, en forma de llista  \left[ \left[ base_1, \, exponent_1 \right], \, \left[base_2, \, exponent_2\right] \ldots \right]. Aquesta última funció permet crear altra que compte la quantitat de factors primers que té un nombre, inclús la quantitat de factors primers diferents.

· No podia faltar un representant de la divisió entera divide(dividend, divisor) que proporciona una llista amb el quocient i el residu.

· També és possible calcular amb wxMaxima el màxim comú divisor amb la funció gcd(a,b) i el mínim comú múltiple amb la funció lcm(a,b,c…). Podeu observar una curiosa diferència en el disseny de les dues funcions, la primera solament admet dues paràmetres i la segona una llista de nombres enters. Per tant heu de recórrer a la estructura mcd(a,mcd(b,c)) per aconseguir el màxim comú divisor de més de dos nombres. Però podeu millorar el comportament d’aquestes funcions creant dues noves: mcm(a,b,c…) definida com a sinònim de lcm i mcd(a,b,c…) definida com una funció que té la llista [n] com a paràmetre. És defineixen les variables m per acumular el màxim comú divisor i la variable j per fer el recorregut dels valors de la llista n. S’inicia m amb al primer valor de la llista i a continuació dins d’un bucle que farà el recorregut dels valors de la llista acumulem els càlculs. El resultat seran presentat per la sentència return.

Els nombres racionals

Els nombres racionals és defineixen amb un conjunts quocient d’una relació \mathfrak{R} del producte cartesià dels nombres enters amb els nombres enters no nuls \mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^*, \, \mathbb{Q}=\mathbb{Z} \times \mathbb{Z}^*/\mathfrak{R}.

Dues parelles estan relacionades si el producte creuat és idèntic (a,b)\mathfrak{R} (c,d) \rightarrow ad=bc. No és quotidià utilitzar parelles d’enters per representar nombres racionals, s’utilitzen la forma de fracció \frac{3}{2} i la forma decimal 1.5.

És en el món racional on Maxima ens proporciona una gran sorpresa. Tracta aquestes formes d’una manera totalment independent, les fraccions formen part del càlcul exacte i els decimals del càlcul aproximat.

Per evidenciar aquest fet simplement compareu el 0 amb el 0.0, el símbol \neq es representa en Maxima amb el símbol #.

Activitat
· Observeu la primera i l’última comparació.

· Hi ha dues funcions, float(a) que transforma una fracció a la forma decimal aproximada i rationalize(a) que transforma decimals a fraccions. Els nombres estan dins de l’ordinador en forma binaria,  com 0.1_{deu}=0.0\overline{0011}_{dos}, en el sistema binari una dècima és un nombre periòdic mixt, per tant queda emmagatzemat de forma aproximada. És aquesta aproximació la que és transformada a fracció.

· Observeu el valor d’aquesta fracció \displaystyle \frac{3602879701896397}{36028797018963968}=[latex]0,1000000000000000055511151231257827021181583404541015625[/latex], Maxima respecte dels nombres decimals es comporta simplement com una calculadora molt potent.
· Per poder verificar si una expressió és racional podeu usar la funció ratnump(n). Podeu comprovar que els nombres decimals estan clarament diferenciats de les fraccions.

· La suma de nombres racionals (\mathbb{Q},+), conserva totes les propietats dels nombres enters, però el producte (\mathbb{Q},*) incorpora l’existència de nombres inversos exceptuant el zero. La divisió queda definida com el producte del nombre invers. a/b=a\cdot b^{-1}. La potència de base racional queda limitada a exponents enters.

· Com transformar un nombre decimal a fracció i viceversa? La transformació a fracció està molt documentada en els llibres de secundària \displaystyle 3.04\overline{047619}=\frac{304047619-304}{99999900}=\frac{304047315}{99999900}=\frac{1277}{420}. A continuació teniu una implementació en Maxima per a transformar els nombres decimals a fraccions i com no hi ha un format numèric adequat utilitzarem una llista amb tres cadenes de caràcters que representaran el nombre en la seua part entera, la part decimal exacta i la part decimal periòdica sense perdre els zeros [“3″,”04″,”047619”].
· La pròxima funció pot parèixer molt estranya, però simplement és el que fan tots els programes de càlcul, tant si estan en un ordinador o una calculadora. Primer es transforma el text introduït per l’usuari en el sistema de codificació de l’ordinador, a continuació es processa la informació i finalment es torna a generar un text intel·ligible per l’usuari.
· Amb Maxima podeu utilitzar la capacitat que té per a manipular cadenes de caràcters, “strings“, per a realitzar operacions matemàtiques de forma més senzilla. concat(string, string…) junta una sèries de cadenes de caràcters. slength(string) ens proporciona la quantitat de caràcters que té una cadena de caràcters. smake(quantitat, caràcter) genera una cadena amb un caràcter repetit tantes vegades com indiquem. eval_string(string) avalua el contingut de la cadena de caràcters com una sentència de wxMaxima. substring(string, inici, final) torna una part de la cadena de caràcters des de la marca d’inici fins l’anterior a la marca final.
La funció considera quatre cassos, el primer per a nombres enters [“345″,””,””], el segon per a nombres decimals exactes [“345″,”67″,””], el terce per a nombre decimals periòdics purs  [“345″,””,”765″] i l’últim per a nombres decimals periòdics mixtes [“345″,”67″,”765”].

· El resultat anterior ens servirà d’exemple per fer la transformació contrària. El punt de partida és la fracció irreductible, factoritzem el denominador i el separem en dues fraccions responsables de la part decimal exacta i la part periòdica. Amplifiquem la primera fracció fins la potència de deu més petita i la segona fracció a la potència de deu més petita menys una unitat. La quantitat de nous indica el número de xifres periòdiques, i la quantitat de ceros la quantitat de xifres decimals exactes que tenim. \displaystyle \frac{1277}{420}= \displaystyle 1277\cdot \frac{1}{2^2 \cdot 5}\cdot \frac{1}{3 \cdot 7}= \displaystyle 1277 \cdot \frac{5}{2^2 \cdot 5^2}\cdot \frac{47619}{3 \cdot 7 \cdot 47619}= \displaystyle \frac{304047315}{100 \cdot 999999}= \displaystyle \frac{304047315}{99999900}. Si multipliqueu per la unitat seguida de zeros com xifres exactes i xifres en un període tenim i calculeu el quocient obtindreu les xifres buscades \displaystyle \frac{304047315}{99999900} \cdot 100000000= \displaystyle 304047619+\frac{20}{420}.

Els nombres reals

Per considerar els nombres reals patirem de la definició de successió de Cauchy en el conjunt de nombres racionals \mathbb{Q}. Una successió a_n d’elements racionals és de Cauchy quan \forall \varepsilon \in \mathbb{Q} \, \wedge \, \varepsilon>0 existeix un nombre natural n_0 tal que \left| a_p-a_q \right|<\varepsilon per a qualsevol parella de nombres enters p i q superiors a n_0.

Els nombres reals \mathbb{R} és defineixen amb un conjunt quocient d’una relació \mathfrak{R} en el conjunt \mathfrak{S} de les successions de Cauchi dels nombres racionals, \mathbb{R}=\mathfrak{S}/\mathfrak{R}. Dues successions de Cauchy a_n i b_n estan relacionades si la diferència és una successió convergent a zero a_n \mathfrak{R} b_n \rightarrow \lim\limits_{n \rightarrow +\infty} (a_n-b_n)=0.

Maxima implementa una estructura de dades anomenades llistes que ens permetran fer càlculs amb successions. Una llista és una estructura definida entre claudàtors amb zero o més elements separats per comes. L’element d’una llista pot ser qualsevol informació admesa en Maxima: numèrica, algebraica, altres llistes, conjunts i també cadenes de caràcters. Hi ha una col·lecció important de funcions per treballar amb llistes i ara observareu unes quantes.

Activitat

· La forma més elemental de crear una llista consisteix en escriure-la. [1, 4, 9, 16, 25, 36], podeu donar-li un nom a:[1, 4, 9, 16, 25, 36] i fer referències als seus elements a[1], a[2]

· Si un element de la llista és una altra llista podeu utilitzar el nom amb doble índex, b:[[1, 2, 3], [4, 5, 6], [7, 8, 9]] i el nombre 6 està en b[2][3].


· Entre les funcions més destacades estan les següents: concatenar llistes append(llista1,llista2,…); concatena un element a una llista cons(element,llista); concatena una llista i un element endcons(element,llista); calcular la quantitat d’elements d’una llista length(llista); determinar si una expressió o variable és una llista listp(expressió); torna una llista amb l’ordre dels elements invertit reverse(llista); per a crear llistes existeixen tres alternatives més makelist(expressió, n, n0, n1), makelist(expressió, n, llista), create_list(expressió, n1, llista1, n2, llista2…); podeu llevar elements d’una llista rest(llista, n), si n>0 presenta una llista amb n elements menys del principi i si n<0 del final; copiar una llista copylist(llista), aquesta és una funció molt important pel fet que la simple assignació d’una llista a una altra, no genera dues llistes diferents amb el mateix contingut, és exactament al contrari, genera una llista amb dos noms, per disposar de dues llistes diferents amb el mateix contingut fa falta copiar-la.

· L’aritmètica de les llistes és molt interessant i podeu sumar, restar, multiplicar i dividir llistes de la mateixa quantitat d’elements, tenint en compte que si existeix un element nul en la llista del denominador obtindreu un error. També podeu fer operacions amb expressions i llistes.

· El conjunt de nombres reals \mathbb{R} s’amplia amb els elements -\infty i \infty. \overline{\mathbb{R}}=\left\lbrace -\infty \right\rbrace \cup \mathbb{R} \cup \left\lbrace -\infty \right\rbrace.

· Maxima incorpora una sèrie d’element com el nombre “e” que es representa per %e, el nombre “\pi” representat per %pi, el nombre “\gamma” representat per %gamma, “\phi” representat per %phi i també “\infty” representat per inf.

· Maxima pot ordenar llistes, però heu de tindre en compte un criteri d’ordenació si no voleu portar-vos sorpreses.

· Per completar el potencial de càlcul de Maxima podeu definir successions: \displaystyle a_n= \frac{1}{n}, \displaystyle b_n=\frac{-3n-4}{2n+1}, \displaystyle c_n=\left(1+\frac{1}{n} \right)^n, calcular límits de successions, \displaystyle{\lim_n \frac{1}{n}}, \displaystyle{\lim_n \frac{-3n-4}{2n+1}}, \displaystyle{\lim_n \left( 1+\frac{1}{n} \right) ^n}, representar successions, calcular sumatoris \displaystyle{\sum_{n=1}^{40}{ \frac{1}{n}}} i productoris \displaystyle{\prod_{n=1}^{40}{ \frac{-3n-4}{2n+1}}} i sumar qualsevol transformació dels elements d’una llista \displaystyle{\sum_{j\in{lista}}{j^2}}.

· Per la notació científica podeu utilitzar dos formats: format “float“, produeix errors de càlcul, causats pel canvi de base en el moment d’emmagatzemar els nombres i per la limitació de la quantitat de xifres que es possible utilitzar, però existeix també el format “bfloat” que permet amb la notació científica establir la precisió del càlcul. La variable “fpprec” determina la quantitat de xifres significatives que s’han d’utilitzar, “bftrunc” indica al programari si s’han d’imprimir o no els zeros de la dreta de la mantissa, “fpprintprec” determina la quantitat de xifres que s’han d’imprimir des de 2 fins a 16, el valor 0 és per desactivar aquesta opció.

· Els nombres en notació científica s’expressen amb la lletra b darrere de la mantissa seguida de l’exponent.

notació científica notació de Maxima
 0 0.0b0
 1,234\cdot 10^{45} 1.234b45
 1,234\cdot 10^{-45}  1.234b-45
-1,234\cdot 10^{45} -1.234b45
-1,234\cdot 10^{-45} -1.234b-45

Els nombres complexos

Els nombres complexos es defineixen com el producte cartesià dels nombres reals \mathbb{C}=\mathbb{R}\times\mathbb{R}, i cada parell de nombres reals és un nombre complex de la forma (a,b) on la primera part s’anomena par real i la segona part imaginària.

Maxima implementa la unitat imaginaria i=\sqrt{-1} de la forma %i i permet expressar els nombres complexos de la forma binòmica a+b*%i. També es possible usar el format polar \displaystyle{ m\cdot e^{\alpha \cdot i}} amb el mòdul m i l’argument -\pi < \alpha \leq \pi de la forma m*%e^(α*%i). Maxima sempre evita les aproximacions si no forcem el càlcul en forma decimal decimal “float” o en notació científica “bfloat“, per tant les transformacions i els càlculs estan plens d’expressions de Demoivre amb sinus, cosinus i arguments en forma d’arctangent.

Entre les funcions teniu rectformat(expressió) que transforma el resultat en forma binòmica, sempre que siga possible simplificar. polarformat(expressió) que transforma l’expressió en la forma polar. Quatre funcions importants són: realpart(expressió) que calcula la part real, imagpart(expressió) que calcula la part imaginària d’un nombre complex, abs(expressió) que calcula el mòdul i carg(expressió) que calcula l’argument.

Activitat

· Per que pugau observar el comportament de Maxima amb els nombres complexos hem creat una llista de nombres per tractar-los de forma simultània.

· Amb Maxima és posible representar els nombres complexos i apreciar les transformacions degudes als productes i les sumes.

· El primer exemple mostra una llista de nombres complexos amb forma de “L” que és girada respecte de l’origen 45º, L2=e^{i\cdot \pi/4}\cdot L1 i 90º, L3=i\cdot L1.





Deixa un comentari

L'adreça electrònica no es publicarà. Els camps necessaris estan marcats amb *

*

?>